有限な離散集合上に定義される統計モデルの当てはまりを評価するための，マルコフ連鎖を利用したシミュレーション手法を紹介する．既約なマルコフ連鎖を構成するための推移基底（マルコフ基底）は代数的に特徴づけられ，多項式環のグレブナー基底の理論を用いて計算することができる．本講演では，この問題を理解するために必要な統計学と代数学の理論を概説し，講演者の関連する研究を紹介する．

グラフが与えられたとき，その部分グラフを列挙する問題は計算機科学における基本的な問題である．部分グラフの数は入力グラフのサイズに対して指数的に大きくなりうるため，全ての部分グラフを1個ずつ出力するのは実用的でない場合がある．そこで我々は暗黙的部分グラフ列挙に注目する．暗黙的部分グラフ列挙では，部分グラフを陽に列挙する代わりに部分グラフの集合を表す決定グラフ（DD）を構築する．本講演ではDDを用いた暗黙的部分グラフ列挙に関する最近の研究を紹介する．

分散システムとは，相互に通信しながら協調して動作する多数の計算主体が作りだすシステムである．個々の計算主体はシステム全体の状況を把握できず，局所的，非同期的，並列的に計算や通信を行う．本講演の前半では，分散システムの通信グラフ上に構成した離散構造の遷移問題を紹介する．近年，独立点集合 [ICALP2019]，頂点彩色 [DISC2018]，全域木 [SSS2021]の分散遷移問題が異なる設定の下で提案されており，これらの結果を紹介する．講演の後半では，モバイルロボットやエージェントなどの自律的に計算，移動を行うモバイル計算主体群が構成する分散システムの遷移問題を紹介する．このような分散システムでは，計算主体の幾何的な配置に着目し，パターン形成問題や再構成問題という名前で遷移可能性が議論されてきた．講演者は近年，遷移列の繰返しや組合せによって探索や脱出といった機能を実現する研究に取り組んでいる．講演後半ではモバイルロボット群のパターン形成問題，モジュールロボットの探索と脱出を紹介する．

本発表では，各点が接続する辺に対する選好を持つ二部グラフ上のマッチング問題を考える．特に，安定性とパレート効率性と呼ばれる二つの性質を満たすマッチングであるパレート安定マッチングに対するアルゴリズムを考える．本発表では，講演者の最近の成果を含め，パレート安定マッチングに関する成果を，組合せ遷移的な視点も交えながら紹介する．

本講演では，組合せ遷移の産業応用について，配電網を例に紹介する．配電網は冗長性を持たせるために複数の経路で電気を供給できるように設計されてる．例えば配電網の日本標準モデルはネットワーク構成に約10^{58}個の選択肢がある．その中から最適な供給経路を選び出すだけでも難しい問題であるが，例え最適な供給経路を計算できたとしても，今度は途中で停電が起きないように現在の構成を最適な構成に変更するための切替手順が必要になる．本講演では，配電網の損失の最適化と切替手順を同時に求めるアルゴリズムの紹介，及びその実験結果について説明する．また，より実用を意識した問題設定である最適化遷移についても触れる．